Propiedades+del+producto+de+números+complejos

**1· Conmutativa**   Dados dos complejos a + bi y c + di, se cumple que:  (a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi )

**2· Asociativa**   Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:  [(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )]

**3· Elemento neutro**   El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i = 1, puesto que para cualquier complejo a + bi, (a + bi ) (1 + 0 · i ) = (a + bi ) · 1 = a + bi. El elemento neutro es el uno

**4· Distributiva del producto con respecto a la suma**   Dados tres números complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:  (a + bi ) [(c + di ) + (e + fi )] = (a + bi ) (c + di ) + (a + bi ) (e + fi )  Ejemplo: <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px; text-align: center;"> (1 - 2i ) [3i + (2 - 7i )] = (1 - 2i ) (2 - 4i ) = 2 - 4i - 4i + 8i 2 = -6 - 8i <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px;"> (1 - 2i ) 3i + (1 - 2i ) (2 - 7i ) = (3i - 6i 2) + (2 - 7i - 4i + 14i 2) = (3i + 6) + (-12 - 11i ) <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px;"> = - 6 - 8i <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px;"> El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo. <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px;"> El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, ·).

<span style="color: #008000; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 150%;">**5· Elemento simétrico respecto del producto** <span style="color: #008000; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 150%;"> <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px;"> Dado un complejo cualquiera a + bi, distinto de 0 + 0i , existe otro complejo que, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0i. <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px;"> Demostración: <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px;"> Se intentará calcular el inverso de a + bi, x + yi. <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px;"> Ha de verificarse que (a + bi ) (x + yi ) = 1 + 0i <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px; text-align: center;"> (a + bi ) (x + yi ) = (ax - by) + (ay + bx)I <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px;"> Por tanto ha de ser: <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px; text-align: center;"> ax - by = 1, multiplicando por a se tiene: a2x - aby = a <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px; text-align: center;"> bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b2x + aby = 0 <span style="background-color: #ffffff; color: #666666; font-family: Arial,arial,sans-serif; font-size: 14px;"> El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y el producto definidos.